Cómo resolver desigualdades con valor absoluto Ejercicios resueltos

✅ Resuelve desigualdades absolutas aislando el valor absoluto, dividiendo casos (positivo/negativo) y comprobando soluciones. Practica con ejercicios resueltos.

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Para resolver desigualdades con valor absoluto, es fundamental entender que el valor absoluto de una expresión representa su distancia desde cero en la recta numérica, sin importar la dirección. En términos prácticos, esto significa que una desigualdad que involucra valor absoluto puede transformarse en dos desigualdades separadas, que abarcan ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, si tenemos la desigualdad |x| < a, esto se traduce en -a < x < a.

Presentaremos una serie de ejercicios resueltos sobre cómo abordar desigualdades que contienen valores absolutos. Estos ejemplos te ayudarán a consolidar tu comprensión del tema y a aplicar los métodos adecuados para resolver distintos tipos de desigualdades. Veremos ejemplos con diferentes niveles de dificultad y analizaremos cada paso del proceso de resolución.

Ejemplo 1: Resolviendo una desigualdad simple

Consideremos la desigualdad:

|x - 3| < 5

Para resolverla, descomponemos en dos desigualdades:

• 1) x - 3 < 5
• 2) x - 3 > -5

Resolviendo ambas:

• 1) x < 8
• 2) x > -2

Por lo tanto, la solución es -2 < x < 8.

Ejemplo 2: Desigualdad compuesta

Ahora veamos una desigualdad que implica un valor absoluto en ambos lados:

|2x + 1| ≥ 3

Descomponemos en dos casos:

• 1) 2x + 1 ≥ 3
• 2) 2x + 1 ≤ -3

Resolviendo cada caso:

• Para el primer caso: 2x ≥ 2 → x ≥ 1
• Para el segundo caso: 2x ≤ -4 → x ≤ -2

Así que la solución a esta desigualdad es x ≤ -2 o x ≥ 1.

Consejos para resolver desigualdades con valor absoluto

• Identifica la forma: Asegúrate de que entiendes cómo se descompone la desigualdad en sus dos casos posibles.
• Resuelve cada caso: No olvides que cada desigualdad resultante debe ser solucionada por separado.
• Comprueba tus soluciones: Sustituye los valores encontrados en la desigualdad original para verificar si son correctos.

Al trabajar con desigualdades de este tipo, la práctica es clave. A medida que resuelvas más ejemplos, te sentirás más cómodo con el proceso. En el siguiente apartado, presentaremos ejercicios adicionales y sus soluciones para que puedas seguir mejorando tus habilidades en la resolución de estas desigualdades.

Pasos detallados para resolver desigualdades con valor absoluto

Resolver desigualdades con valor absoluto puede parecer complicado al principio, pero siguiendo pasos sistemáticos, es un proceso manejable. Aquí te mostramos cómo hacerlo de manera efectiva.

Paso 1: Comprender la desigualdad

Primero, es crucial entender la desigualdad que estás tratando de resolver. Una desigualdad con valor absoluto toma la forma:

• |x| < a (donde a es un número positivo)
• |x| > a

Por ejemplo, si tenemos la desigualdad |x| < 3, esto significa que x está a menos de 3 unidades de distancia del 0 en la recta numérica.

Paso 2: Descomponer la desigualdad

Para resolver una desigualdad de la forma |x| < a, descomponemos en dos partes:

1. -a < x < a

Siguiendo el ejemplo anterior:

• -3 < x < 3

Paso 3: Resolver la desigualdad

Una vez que hayas descompuesto la desigualdad, resuelve cada parte:

• Para -3 < x, la solución es x > -3.
• Para x < 3, la solución es x < 3.

Por lo tanto, la solución completa es:

-3 < x < 3.

Paso 4: Para desigualdades con valor absoluto mayor

Si estás trabajando con una desigualdad de la forma |x| > a, el proceso es ligeramente diferente. Aquí, descomponemos en dos partes:

1. x < -a
2. x > a

Por ejemplo, si tenemos |x| > 2, esto significa:

• x < -2
• x > 2

Así que la solución sería:

x < -2 o x > 2.

Caso práctico

Supongamos que tienes la desigualdad |2x - 4| < 6. Sigamos los pasos:

1. Descomponer: -6 < 2x - 4 < 6
2. Resolver las dos partes:
• -6 + 4 < 2x lo que da -2 < 2x y por tanto x > -1.
• 2x < 6 + 4 lo que da 2x < 10 y por tanto x < 5.

Así que la solución es:

-1 < x < 5.

Consejos prácticos

• Practica con diferentes ejemplos para familiarizarte con el proceso.
• Utiliza una recta numérica para visualizar las soluciones.
• Revisa siempre si la solución es correcta sustituyendo valores.

Recuerda que la práctica es clave para dominar las desigualdades con valor absoluto. ¡No te desanimes y sigue practicando!

Estrategias comunes y errores a evitar en desigualdades absolutas

Cuando se trata de resolver desigualdades que involucran valores absolutos, es esencial seguir ciertas estrategias que facilitan el proceso y minimizan los errores comunes. Aquí te presentamos algunas de estas estrategias, así como errores que debes evitar.

Estrategias Comunes

• Descomposición del valor absoluto: Al abordar una desigualdad con valor absoluto, es útil descomponerla en dos casos. Por ejemplo, para la desigualdad |x - 3| < 5, considera las dos desigualdades:
  • x - 3 < 5
  • -(x - 3) < 5
• Resolución de cada caso: Una vez que se han establecido los casos, resuelve cada uno por separado. En el ejemplo anterior, resolverías:
  1. x < 8
  2. -x + 3 < 5, lo que resulta en x > -2.
• Unificación de soluciones: Después de resolver ambos casos, unifica las soluciones encontradas. En el ejemplo anterior, la solución sería -2 < x < 8.

Errores Comunes a Evitar

1. No considerar ambos casos: Un error frecuente es olvidar resolver ambos casos del valor absoluto. Recuerda que siempre debes considerar la versión positiva y negativa.
2. Confundir el signo de la desigualdad: Al multiplicar o dividir por un número negativo, recuerda que debes cambiar el signo de la desigualdad. Por ejemplo, en el caso de -|x| > 3, al dividir por -1, debes invertir el signo a |x| < -3, lo cual es imposible, resultando en un error.
3. No simplificar adecuadamente: Es crucial simplificar correctamente las expresiones; omitir pasos puede llevar a resultados incorrectos.

Casos de Uso

Veamos un ejemplo práctico. Supongamos que deseas resolver la desigualdad |2x + 1| ≤ 7. Aquí está el proceso:

1. Descomponer en dos casos:
   • 2x + 1 ≤ 7
   • -(2x + 1) ≤ 7
2. Resolver cada caso:
   1. 2x ≤ 6, por lo que x ≤ 3.
   2. -2x - 1 ≤ 7, lo que lleva a -2x ≤ 8 y, por tanto, x ≥ -4.
3. Unificar resultados: La solución final es -4 ≤ x ≤ 3.

Utilizando estas estrategias y evitando los errores comunes, podrás resolver desigualdades absolutas con mayor eficacia y confianza. Recuerda que la práctica es clave para dominar estos conceptos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una desigualdad con valor absoluto?

Es una desigualdad que involucra el valor absoluto de una expresión, expresando la distancia de un número a cero en la recta numérica.

¿Cómo se resuelven las desigualdades con valor absoluto?

Se separa la desigualdad en dos casos: uno positivo y otro negativo, y se resuelve cada uno por separado.

¿Cuáles son los pasos para resolverlas?

1. Aislar el valor absoluto. 2. Plantear dos desigualdades. 3. Resolver cada desigualdad. 4. Unir las soluciones.

¿Qué tipos de desigualdades existen con valor absoluto?

Existen desigualdades del tipo "mayor que" y "menor que", cada una con su método de resolución específico.

¿Qué hacer si hay una variable en ambos lados de la desigualdad?

Reorganizar la desigualdad para tener todas las variables a un lado y luego proceder como de costumbre.

Puntos clave para resolver desigualdades con valor absoluto

• Definición del valor absoluto: |x| = x si x ≥ 0 y |x| = -x si x < 0.
• Separar en dos casos: |A| < B se traduce en -B < A < B.
• Separar en dos casos: |A| > B se traduce en A < -B o A > B.
• Despejar la variable en cada desigualdad resultante.
• Unir las soluciones: las respuestas pueden ser intervalos o uniones de intervalos.
• Comprobar las soluciones sustituyendo en la desigualdad original.

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